水库库容计算中容积等效断面间距的算法研究
作者：胡跃斌 刘炜 王临清 张永平
摘要: 为解决常规断面间距计算中存在的物理概念不明确、计算方法不统一、计算成果精度较低等问题，提出了容积等效断面间距的概念和计算公式，阐述了容积等效断面间距的高程分级标准、计算流程及特殊问题的处理方法。利用2010 年小浪底水库实测数据，对该水库不同高程的容积等效断面间距进行了率定、计算。经过2011 年和2012 年4 个测次实测资料的检验，表明库容计算结果的精度明显提高，满足有关规范的要求。
关键词: 算法; 容积等效断面间距; 库容; 小浪底水库
中图分类号: P333; TV697 文献标志码: A doi: 10．3969/j．issn．1000-1379．2014．10．004
Study on the Volume Equivalent Cross-Section Spacing Algorithm of Reservoir Storage
HU Yue-bin，LIU Wei，WANG Lin-qing，ZHANG Yong-ping
Abstract: In order to solve the problems in conventional section spacing calculation such as unclear physical concepts，non-uniformed calculation method and lower precision of calculation results，this study introduced the concept and formula of volume equivalent cross-section spacing as well as dealing ways for special problems．Based on the measured data of Xiaolangdi reservoir in 2010，the volume equivalent cross-section spacing of different elevation were calibrated and calculated，and then checked by observed data in 2011 and 2012，it proved that the result precision was obviously improved and met the standard requirement．
Key words: algorithm; volume equivalent cross-section spacing; reservoir storage; Xiaolangdi Reservoir
1 断面法库容计算存在的问题
断面法是水库库容计算的常用方法，该方法具有简单、便捷等特点。如果采用的断面间距能够客观反映库区相邻断面间的地形变化趋势，具有较好的代表性，那么计算成果就能够达到较高的精度。
1．1 常规计算方法
一般情况下，可以根据水库地形的变化情况，分别采用梯形公式或截锥公式计算水库库容［1］。
(1) 梯形公式。当上下游相邻断面同一高程分级面积相差
不大且断面宽度呈直线变化时，可以采用梯形公式计算断面间分级库容。公式为
V = L(A+B)/2 (1)
式中: V 为上下游相邻断面分级高程间的库容; A、B 分别为上、下游相邻断面分级高程之间的面积; L 为断面间距。
由于实际布设的水库断面很难满足上述假定条件，因此在水库断面法淤积测验中很少使用梯形公式。
(2) 截锥公式。当上下游相邻断面同一高程分级间的面积相差较大，(A-B)/A ＞ 40%时(A ＞ B) ，则应采用截锥公式计算断面间的分级库容:
(2)
1．2 存在的问题
计算水库库容时，断面间距是一个非常重要的计算参数，其物理概念和一般情况下的间距概念有着较大的差别。在水文计算中，断面间距经常是一个与应用目标相联系的概念，如计算水流从上断面流到下断面的时间时，采用河道主流的曲线长度(即流程) 作为间距是合适的; 若要计算两断面间的容积，则应采用立体几何学柱体或截锥体的高作为间距，而不能以流程作为间距。
截锥公式是有着严格立体几何定义的公式，要求两底面平行且相似，截锥的各条侧棱延长后交于一点(顶点) ，并且两底面的面积与顶点到各自底面的距离(锥高) 的平方呈比例。因此，在使用截锥公式计算断面法库容时，需要满足以下两个基本假定: 一是相邻断面平行; 二是相邻断面间的内插面积呈线性变化。如果相邻断面不平行，那么从几何学上不定义间距。在实际的水库淤积测验中，由于布设的水库固定监测断面很难完全互相平行，因此无法获得准确意义上的断面间距。同时，受泥沙冲淤的影响，两固定断面间的水库边界条件变化复杂，其内插宽度和水深也不会完全呈线性变化，使得两断面间距离的概念失效。因此，如何获得用于计算相邻断面间容积的断面间距，保证断面法库容的计算精度，是水文工作者长期研究的重要问题。如果计算库容所用的断面间距选取不恰当，那么将会导致计算成果存在较大的系统误差［2］。
在以往的水库断面法库容计算工作中，水文工作者尝试了多种确定断面间距的方法，但受基础研究工作欠缺和计算手段制约的影响，各种计算方法均不同程度存在不足，无法得到满意的结果。因此，若能建立起和地形法容积等效的断面法计算间距的概念与算法，则会有效提高断面法库容计算成果的精度。
2 容积等效断面间距的算法
容积等效断面间距是指通过数学方法转换处理后，将不规则柱体概化为容积等效的标准截锥体，两个底面之间的垂线距离作为式(2) 中的间距L，以此计算不规则柱体的容积。
2．1 容积等效断面间距的分析思路
在实际布设的水库淤积测验断面中，相邻的上下游断面很少相互平行，两断面间沿河长方向上的断面宽度也呈非线性变化，见图1。
图1 中，上断面S1 和下断面S2 不平行，无法定义两断面的间距，断面间内插分级面积呈非线性变化。因此，必须找出一种符合截锥公式基本假定的间距确定方法，才能使用式(2)计算水库容积。
由上断面分级面积A、下断面分级面积B、水库边界和上下两个分级高程平面合围而成的水库部分容积V，可由数学或测量方法获得准确的计算成果。在空间坐标系中，在保持部分库容V 数值不变的前提下，通过扭转下断面S2 的方向，使之和上断面S1 平行，并拉直水库边界，可以得到和图1 中不规则水体容积相等的截锥体，见图2。
通过以上概化处理，在图2 的截锥体中，上、下断面分别对应截锥的两个底面，且A1 = A、B1 = B、V1 = V，即图2 所示的截锥体和图1 所示的不规则水体容积相等、上下断面面积相等，此时截锥体的高就是容积等效断面间距L。该截锥体计算区段内(两相邻断面之间) 的任意内插断面在宽度和深度上都是沿河长呈线性变化的。
2．2 容积等效断面间距的计算方法
容积等效断面间距可以根据断面测量数据采用数学的方法进行推导计算，也可以根据已知库容采用容积反算的方法获得。
(1) 采用数学推导计算。牛占［2］对容积等效断面间距的计算方法进行了详细的推导和论证，提出了以下基本计算公式。
根据几何学理论可知，无论两相邻断面是否平行，若在上断面(J) 选取面积微元ωJi，从其形心处到下断面(J+1) 的垂线间距就是可以看作是以微元ωJi为底的柱体的高yJi-J+1，因而J 断面和J+1 断面之间微元柱体的体积为ωJiyJi-J+1，J断面所有微元柱体的体积之和为ΣωJi yJi-J+1。另一方面，J 断面的总面积为ΣωJi，设想有一个高HJ-J+1与ΣωJi的积HJ-J+1ΣωJi =ΣωJiyJi-J+1，则有
(3)
式中: ωJi为微元柱体的底面积; yJi-J+1为微元柱体的高;ωJiyJi-J+1为微元柱体的体积; HJ-J+1为断面J-断面J+1 之间的容积等效断面间距。
可以看出，所谓容积等效断面间距，就是在立体几何的等积变换中，以某断面为正底面，扭转另一断面(斜底面) 与正底面平行后推算出的柱体高。
(2) 采用已知容积反算。需要指出的是，式(3) 中由累加的微元柱体体积ωJiyJi-J+1除以ΣωJi推导出的容积等效断面间距HJ-J+1仍然是以断面为基础的。如果已经获得了水库地形数据，并用地形法计算出了相邻断面间的容积，那么由式(2) 反算断面间距也是可行的(称为容积反算法) 。
根据式(1) 、式(2) ，可以得到以下容积等效断面间距的计算公式:
(4)
在式(4) 中，面积A、B 均为实测数值，容积V 为利用地形法计算的容积值，则L 就是和地形法容积等效的断面间距。对于大型水库和泥沙淤积不明显的中型水库，淤积泥沙的体积和库容相比所占比例较小，地形边界条件在一定时期内变化不明显，计算得出的容积等效断面间距具有较好的稳定性和代表性，可以保证库容计算成果的精度。一旦水库发生明显淤积或地形发生剧烈变化，则应重新计算容积等效断面间距。
(3) 容积等效断面间距的分层处理。在实际测验工作中，为获得水库的库容分布曲线，库容计算是按照一定的高程分级计算完成的，实际的断面间河长和断面宽度也是随高程变化而变化的。因此，库容计算通常是以等间距的水平面将容积立体分成若干层，每层的体积应用截锥公式计算得出后再累计求和，即可得到各高程下的相邻断面间库容［4］(见图3) 。
设A1i、A2i、Li分别为上、下断面在第i 层边界内的面积和概化间距，则第j 层层顶高程对应的相邻断面间库容为
容积等效断面间距的核心是在计算范围内，采用截锥公式计算的容积等同于地形法计算容积(标准容积) ［3］。当沿高程方向的分层取值适当时，计算区段的截锥体上、下断面形状是概化相似的，符合使用截锥公式的基本假定［4］。由式(5) 可以推导得出分级容积等效断面间距:
实际应用中，需要对高程分级的步长事先进行规定，以该规定值计算库容。按照《水库水文泥沙观测试行办法》的规定，分级高程面积的划分一般应取至米或偶数米。
2．3 特殊问题的处理
在水库支流上游的最后一个断面以上、河底高程到达水库设计水位的位置虚设有一个断面，称其为回水末端断面。回水末端断面纯粹是为计算模型的需要而设置的，它被定义为一个点，以该点为顶点，最后一个实设断面为底面，构成一个锥体(见图4) 。回水末端锥体描述了人们对支流最上游部分容积体的形状认定。
在一般的相邻断面区间，上、下断面的最低河底高程不相等，在水平分层时，其中较高的最低河底高程所对应的水平面以下的容积体被认为是一个锥体，称为底部锥体，其模型见图5。
回水末端锥体和底部锥体的情况很类似，以后者为例进行叙述。
当底部椎体完全处在一个间距-高程分段区间内时，如［z1，z2］
［175， 200］(见图5(a) ) ，其间距值是唯一的，其整体体积为
(7)
式中: bz2为高程为z2时的间距; A2z2为下断面z2高程下的面积。
任意高程z∈［z1，z2］下的体积也直接按锥体计算:
(8)
定义高程范围在zj-1-zj之间的第j 层体积为两个锥体体积之差:
当底部锥体的高程范围跨过若干个间距-高程分段区间时，以图5(b) 为例，(z1，z3］对应间距值bz3，(z3，z2］对应间距值bz2，就是说在整个锥体内，间距值不唯一。这时是以间距-高程函数的跳跃点z3将底部锥体分成上下两个部分，分别采用对应的间距。
对于式(10) 中bzj的取值，有(zj-1，zj)
［z1，z3］时bzj = bz3，(zj-1，zj)
［z3，z2］时bzj = bz2。对Vj进行累加后得到的体积对应于图5(b) 中实线所代表的部分。
在一般的断面间容积体底部会出现断面面积与断间容积比例失常的现象，特例包括断面之间河底存在大坑的情况，断面底部面积将无法控制断间底部容积。这时断面法容积计算公式在局部上已不再适用，因此直接用容积等效断面间距公式推算出的间距值也不再具有实用性。在实际计算中，该间距值必须舍弃，并对造成的库容误差进行修正。
为得到各高程库容计算误差的均衡结果，当计算区间某个高程下的容积相对区间总容积(最高蓄水位以下容积) 的比例小于8%时，则取消该分层节点，将库容并入上一级分层以合并计算断面间距。
3 实例应用
2010 年，黄委水文局在小浪底库区实测了高程在280 m以下的地形图，采用地形法计算了库容。利用该项实测成果，采用容积等效断面间距的概念和计算公式，在GIS 平台上完成了小浪底库区容积等效断面间距的计算。
3．1 小浪底水库容积等效断面间距的计算
截至2010 年4 月，小浪底库区最大水深为90．63 m，2010年水位变幅为60 余m。水库运用期间，由于入库泥沙不断淤积，因此库底高程也在不断抬高。为适应水库运用水位的变化和库底高程的抬高，需要确定合适的高程分级，按高程分级计算分级库容和容积等效断面间距。
本次分别以10、5、1 m 为步长进行高程分级，采用式(6) 分别计算出各个断面间的分级容积等效断面间距，并将采用等效断面间距法和实测地形法计算的库容进行对比，结果见表1。
从表1 可以看出，采用1 m高程分级间距计算的断面法库容和地形法库容的误差最小，5m分级误差次之， 10 m 分级时的库容误差最大。综合考虑各方面的因素，确定采用1 m高程分级的容积等效断面间距。
为保证一段时期内(一般为5 a) 在相同测验条件下断面间距精度的稳定性，在高程方向采用1 m分级，并在高程175、200、225、250、275 m 处分别设置容积吻合节点。
3．2 不同断面间距计算成果的误差对比
通常情况下以地形法计算库容为标准值来判断断面法库容计算结果的精度。为检验容积等效断面间距法计算库容的精度，首先根据2010 年4 月实测资料，采用地形法计算出了小浪底水库高程275 m以下的库容，然后根据2011 年4 月实测资料，分别采用容积等效断面间距和常规断面间距计算了小浪底水库275 m高程以下库容(见表2) ，其中两种不同断面间距计算涉及的断面数量相同、分级高程相同。
从表2 可以看出，与常规断面间距法计算结果相比，采用容积等效断面间距法计算的库容更接近地形法库容，计算精度高于前者。
4 结语
根据容积等效断面间距的概念和计算公式，利用小浪底水库实测数据，分析确定了小浪底水库容积等效断面间距的高程分级标准、间距计算流程和计算库容的方法，确定了小浪底水库的容积等效断面间距，提高了小浪底水库断面法计算库容的精度。
利用2010 年实测数据对小浪底水库不同高程的容积等效断面间距进行了率定，编制完成了小浪底水库容积等效断面间距表，从2011 年开始在小浪底水库淤积测验中应用。经过2011 年和2012 年4 个测次实测资料的检验，库容计算结果的精度明显提高，且满足有关规范要求，目前已在小浪底水库水文泥沙监测中得到正式应用。
参考文献:
［1］水利部．水库水文泥沙观测试行办法［M］．北京: 水利水电出版社， 1979．
［2］牛占．布设断面测算河道水库容积及冲淤量的数学解析与概化［J］．泥沙研究， 2004(4) : 61-67．
［3］刘炜，胡跃斌，张丽娜，等．小浪底水库基本断面代表性分析报告［R］．郑州: 黄河水利委员会水文局， 2010．
［4］刘炜，牛占，陈涛．断面法水库库容计算模型的几何分析［J］．人民黄河，2006， 28(10) : 72-77．
作者简介: 胡跃斌(1959-) ，男，河南郑州人，高级工程师，研究方向为水库泥沙测验。
